Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

  1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями;
  2. Сложение дробей с разными знаменателями.

Сначала изýчим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.

Например, слóжим дроби    и  . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к   пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Сложить дроби  и  .

Пример 2. Сложить дроби Опять же складываем числители, а знаменатель остав и Опять же складываем числители, а знаменатель остав .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

В ответе получилась неправильная дробь .  Если нас

В ответе получилась неправильная дробь .  Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два будет один:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

Пример 3. Сложить дроби    и   .

Пример 3. Сложить дроби  Опять же складываем числители, а знаменатель остав  и  Опять же складываем числители, а знаменатель остав .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

Пример 4. Найти значение выражения 

Пример 4. Найти значение выражения  Этот пример решается точно также, как и предыдущие

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунк

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к  пиццы прибавить  пиццы и ещё прибавить 1 пиццы, то получится 1 целая и ещё  пиццы.

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знамена

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями нет ничего сложного. Достаточно понимать следующие правила:

  1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;
  2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

Видео

Сложение дробей с разными знаменателями

Определение

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, вначале надо привести их к общему знаменателю, а далее складывать как дроби с общим знаменателем.

Пример

Задание. Сложить дроби  $\frac{2}{3}$  и  $\frac{1}{8}$  Решение. Так как дроби с разными знаменателями, то вначале приведем их к наименьшему общему знаменателю. Для этого найдем НОК чисел 3 и 8: НОК (3, 8) = 24 Дополнительные множители к каждой из дробей соответственно: $24 : 3=8,24 : 8=3$ то есть $\frac{2}{3}+\frac{1}{8}=\frac{2^{8}}{3}+\frac{1^{3}}{8}=\frac{2 \cdot 8+1 \cdot 3}{24}=\frac{16+3}{24}=\frac{19}{24}$ Ответ.   $\frac{2}{3}+\frac{1}{8}=\frac{19}{24}$

Замечание. После первого знака равенства справа вверху у каждой дроби указан дополнительный множитель к ней.

Вычитание дробей с разными знаменателями

При вычитании дробей с разными знаменателями следует:Вычислить общий знаменатель, используя правила нахождения НОК и НОД по необходимости.Привести дроби к общему знаменателю, умножив числители и знаменатели дробей на дополнительные множители, если это необходимо.Провести вычитание дробей с общим знаменателем.

Образавры соревновались в поедании пирожных. Победил розовый, который съел $\frac{9}{24} $ от всего количества пирожных. Синий и зелёный Образавры съели по $\frac{5}{18}$. На сколько меньше пирожных съел зелёный Образавр, чем розовый?

Если мы посмотрим на дробь $\frac{9}{24} $, то увидим, что прежде чем начинать вычисления, можно её сократить, и нам будет удобнее считать. Найдём НОД (наибольший общий делитель) для этой дроби.

Рисунок 4
Рисунок 4

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на НОД. У нас получится

$$\frac{9:3}{24:3}=\frac{3}{8}$$

Теперь нужно найти НОК для $8$ и $18$ .

Вычислим НОД

Рисунок 5
Рисунок 5

Умножим $8$ на $18$ и разделим на НОД. У нас получится

$$8\cdot 18:2=8\cdot 9=72$$

Вычислим дополнительные множители:

$$72:8=9$$

$$72:18=4$$

Решим пример, используя дополнительные множители:

Рисунок 6
Рисунок 6

Вычитание дробей

Алгоритм действий при вычитании двух дробей:

  1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
  2. Привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби.
  3. Вычесть одну дробь из другой, путем вычитания числителя второй дроби из числителя первой.
  4. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
  5. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

Как плюсовать дроби

Сложение — это арифметическое действие, в результате которого получается новое число. Оно содержит в себе сумму заданных чисел.

Свойства сложения

  • От перестановки мест слагаемых сумма не меняется: a + b = b + a.
  • Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье нужно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа: (a + b) + c = a + (b + c).
  • Если к числу прибавить ноль, получится само число: a + 0 = 0 + a = a
  • При сложении числа можно переставлять и объединять в группы, результат от этого не изменится.

Давайте рассмотрим несколько вариантов сложения обыкновенных дробей. 

Сложение обыкновенной дроби и натурального числа

Сложение натурального числа с правильной обыкновенной дробью не представляет интереса, так как такая сумма по определению есть смешанное число. Например,   	Сложение натурального числа с неправильной обык.

Сложение натурального числа с неправильной обыкновенной дробью можно проводить через сложение двух дробей, если натуральное число заменить дробью (смотрите натуральное число как дробь со знаменателем 1). К примеру, .

Однако, сложение натурального числа и неправильной дроби целесообразнее проводить, выделив из дроби целую часть. В результате сложение натурального числа и дроби сводится к сложению натурального числа и смешанного числа. Для примера вычислим сумму из предыдущего примера таким способом:   	К началу страницы   . Рассмотренный подход требует меньше вычислительной работы по сравнению с предыдущим способом, что особенно заметно, когда числа велики.

К началу страницы

Деление дробей

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Например, разделим Чтобы разделить  на , нужно  умножить на дробь, об на Чтобы разделить  на , нужно  умножить на дробь, об

Чтобы разделить  на , нужно  умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби  это дробь 

Допустим, имеется половина пиццы:

Допустим, имеется половина пиццы:

Если зададим вопрос «сколько раз четверть пиц

Если зададим вопрос «сколько раз четверть пиццы содержится в этой половине», то ответом будет 2. Действительно, четверть пиццы содержится в половине пиццы два раза:

Пример 1. Найти значение выражения 

Пример 1. Найти значение выражения  Умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Г

Умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Грубо говоря, умножаем первую дробь на перевёрнутую вторую:

Пример 2. Найти значение выражения

Пример 2. Найти значение выражения Умножаем первую дробь на дробь обратную второй:

Умножаем первую дробь на дробь обратную второй:

Здесь советуем остановиться и потренироваться. Реш

Здесь советуем остановиться и потренироваться. Решите несколько примеров, приведенных ниже. Можете использовать материалы сайта, как справочник. Это позволит вам научиться работать с литературой.

Каждая следующая тема будет более сложной, поэтому нужно тренироваться.

Теги