Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение дробей с разными знаменателями

При сложении дробей с разными знаменателями следует:Вычислить общий знаменатель, используя правила нахождения НОК и НОД по необходимости.Привести дроби к общему знаменателю, умножив числители и знаменатели дробей на дополнительные множители, если это необходимо.Провести сложение дробей с общим знаменателем.

Давайте потренируемся решать задачи, для которых нам понадобятся общие знаменатели, наименьшее общее кратное, а также дополнительные множители. Пробуйте решить задачи сами и проверяйте своё решение.

Дети помогали красить стулья в классе. Серёжа и Никита покрасили $\frac{2}{9}$ стульев, а Лена с Мариной – $\frac{1}{6}$. Сколько стульев покрасили дети вчетвером? Кто из них покрасил больше?

Показать нахождение наименьшего общего кратного (и наименьшего общего знаменателя)

Скрыть

Для начала разложим знаменатели дробей на множители. Множители большего числа возьмём полностью и добавим те множители второго числа, которых не хватает. $$9=3\cdot 3$$ $$6=3\cdot 2$$ У нас получились множители $3, 3, 2$. Теперь нам нужно найти НОК. $$3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$$ Значит, общий знаменатель у нас будет равен $18$Рисунок 1

Показать вычисление дополнительных множителей

Скрыть

Для того чтобы найти дополнительные множители для дроби $\frac{2}{9}$ разделим общий знаменатель на знаменатель дроби. Так мы найдём, на какое число нужно умножить знаменатель дроби, чтобы получился общий знаменатель. $$18:9=2$$ По тому же принципу найдём дополнительные множители для дроби $\frac{1}{6}$ $$18:6=3$$Рисунок 2

Показать решение задачи

Скрыть

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на те дополнительные множители, которые мы для них нашли. $$ \frac{2}{9}=\frac{2 \cdot 2 }{9 \cdot 2 }=\frac{4}{18} $$ $$ \frac{1}{6}=\frac{1\cdot 3}{6 \cdot 3}=\frac{3}{18} $$ $$\frac{2}{9}+\frac{1}{6}=\frac{2 \cdot 2 }{9 \cdot 2 }+\frac{1\cdot 3}{6 \cdot 3}$$ $$\frac{4}{18}+\frac{3}{18}=\frac{7}{18}$$ Можно записать решение короче:Рисунок 3

Также теперь мы можем сравнить эти дроби.

$$\frac{4}{18}>\frac{3}{18}$$

Значит,

$$\frac{2}{9}>\frac{1}{6}$$

Видео

Деление числа на дробь

Правило деления числа на дробь такое же, как и правило деления дроби на число.

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю.

Например, разделим число 1 на Чтобы разделить число 1  на , нужно это число 1  у.

Чтобы разделить число 1 на 1, нужно это число 1 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби  это дробь 

Выражение  можно понимать, как определение количес

Выражение  можно понимать, как определение количества половин в одной целой пицце. Допустим, имеется одна целая пицца:

Если зададим вопрос «сколько раз половина сод

Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в этой пицце», то ответом будет 2. Действительно, половина содержится в одной целой пицце два раза

Пример 2. Найти значение выражения

Пример 2. Найти значение выражения Умножим число 2 на дробь, обратную делителю. А обр

Умножим число 2 на дробь, обратную делителю. А обратная делителю дробь это дробь 

Допустим, у нас имеются две целые пиццы:

Допустим, у нас имеются две целые пиццы:

Если зададим вопрос «сколько раз половина сод

Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в двух пиццах», то ответом будет 4. Действительно, половина содержится в двух пиццах четыре раза:

Как плюсовать дроби

Сложение — это арифметическое действие, в результате которого получается новое число. Оно содержит в себе сумму заданных чисел.

Свойства сложения

  • От перестановки мест слагаемых сумма не меняется: a + b = b + a.
  • Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье нужно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа: (a + b) + c = a + (b + c).
  • Если к числу прибавить ноль, получится само число: a + 0 = 0 + a = a
  • При сложении числа можно переставлять и объединять в группы, результат от этого не изменится.

Давайте рассмотрим несколько вариантов сложения обыкновенных дробей. 

Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поме

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:

Что получится в результате этого? Если мы продолжи

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

Значит обратным к числу 5, является число , поскол

Значит обратным к числу 5, является число Обратное число можно найти также для любого другог, поскольку при умножении 5 на Обратное число можно найти также для любого другог получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

Примеры:

  • обратным числа 2 является дробь
  • обратным  числа 3 является дробь
  • обратным числа 4 является дробь

Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

Примеры:

  • для дроби для для дроби  обратной дробью является дробь обратной дробью является дробь  для для дроби  обратной дробью является дробь
  • для для дроби для дроби  обратной дробью является дробь обратной дробью является дробь для дроби  обратной дробью является дробь
  • для дроби обратной дробью является дробь

Действия сложения и вычитания при разных знаменателях

Вновь обратимся к схеме действий с обыкновенными дробями: чтобы выполнить сложение или вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю, а затем сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

К примеру, 25+13=615+515=1115 или 1237=714614=114.

Так же по аналогии сформулируем правило сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями:

Определение 2

Чтобы осуществить сложение или вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями, необходимо: исходные дроби привести к общему знаменателю; выполнить сложение или вычитание полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Очевидно, что ключевым здесь будет навык приведения алгебраических дробей к общему знаменателю. Разберем подробнее.

Ñëîæåíèå äåñÿòè÷íûõ äðîáåé

Ïðè ñëîæåíèè äåñÿòè÷íûõ äðîáåé ïðîöåññ çàïèñûâàþò «ñòîëáèêîì» (êàê îáû÷íîå óìíîæåíèå ñòîëáèêîì), òàê ÷òîáû îäíîèì¸ííûå ðàçðÿäû íàõîäèëèñü äðóã ïîä äðóãîì áåç ñìåùåíèÿ. Çàïÿòûå îáÿçàòåëüíî âûðàâíèâàåì ÷¸òêî äðóã ïîä äðóãîì.

Êàëüêóëÿòîð äðîáåé îíëàéí. Ñëîæåíèå, âû÷èòàíèå, óìíîæåíèå, äåëåíèå äðîáåé.

Êàëüêóëÿòîð äåñÿòè÷íûõ äðîáåé îíëàéí. Ïåðåâîä äåñÿòè÷íûõ äðîáåé â îáû÷íûå è îáû÷íûõ â äåñÿòè÷íûå.

Ïðàâèëà ñëîæåíèÿ äåñÿòè÷íûõ äðîáåé:

     1. Åñëè íóæíî, óðàâíèâàåì êîëè÷åñòâî çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé. Äëÿ ýòîãî äîáàâëÿåì íóëè ê íåîáõîäèìîé äðîáè.

     2. Çàïèñûâàåì äðîáè òàê, ÷òîáû çàïÿòûå íàõîäèëèñü äðóã ïîä äðóãîì.

     3. Ñêëàäûâàåì äðîáè, íå îáðàùàÿ âíèìàíèÿ íà çàïÿòóþ.

     4. Ñòàâèì çàïÿòóþ â ñóììå ïîä çàïÿòûìè, äðîáåé, êîòîðûå ñêëàäûâàåì.   

Îáðàòèòå âíèìàíèå! Êîãäà ó çàäàííûõ äåñÿòè÷íûõ äðîáåé ðàçíîå êîëè÷åñòâî çíàêîâ (öèôð) ïîñëå çàïÿòîé, òî ê äðîáè, ó êîòîðîé ìåíüøå äåñÿòè÷íûõ çíàêîâ ïðèïèñûâàåì íóæíîå êîëè÷åñòâî íóëåé, äëÿ óðàâíåíèÿ â äðîáÿõ ÷èñëî çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé.

Ðàçáåð¸ìñÿ íà ïðèìåðå. Íàéòè ñóììó äåñÿòè÷íûõ äðîáåé:

0,678 + 13,7 =

Óðàâíèâàåì ÷èñëî çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé â äåñÿòè÷íûõ äðîáÿõ. Äîïèñûâàåì 2 íóëÿ ñïðàâà ê äåñÿòè÷íîé äðîáè 13,7.

0,678 + 13,700 =

Çàïèñûâàåì îòâåò:

0,678 + 13,7 = 14,378

Åñëè ñëîæåíèå äåñÿòè÷íûõ äðîáåé âû îñâîèëè äîñòàòî÷íî õîðîøî, òî íåäîñòàþùèå íóëè ìîæíî äîïèñûâàòü â óìå.

Теги