Системы счисления_1. Десятичная система

Системы счисления. Основные понятия

Определение 1

Система счисления — это набор правил записи чисел посредством конечного набора цифр.

Системы счисления разделяются на:

  • позиционные, в которых значение цифры зависит от позиции;
  • непозиционные — самое древнее представление, когда значение цифры не зависит от позиции или от положения в записи числа (римские цифры, унарные цифры и другие).
Определение 2

Основание системы счисления — это количество цифр, используемых в данной системе.

Вес разряда — это отношение количественного эквивалента цифры в данном разряде к количественному эквиваленту такой же цифры в нулевом разряде:

pi=si,гдеiномерразряда,sоснованиесистемысчисления.

Разряды числа нумеруются справа налево. Младший разряд имеет номер ноль. Разряды дробной части нумеруются отрицательными числами:

12213,4152

Видео

Решение задач

1. Какое число записано с помощью римских цифр: CLVI
  • Т.к. большая стоит перед меньшей – CL, то они складываются (С+L = 100 + 50 = 150).
  • Т.к. большая цифра стоит перед меньшей – VI, то они складываются (V + I = 5 + 1 = 6). Следовательно, 150 + 6 = 156
Ответ: CLVI = 15610 2. Записать в развёрнутом виде число: 3ВFA16qn-1n-1n-2n-2–1-1–2-2–m-m163210 Ответ: 3ВFA16 = 3*163 + B*162 + F*161 + A*1603. Запишите в свёрнутой форме число  1*82 + 4*81 + 7*8 qn-1n-1n-2n-2–1-1–2-2–m-m218 Ответ: 1*82 + 4*81 + 7*8 = 14784. Используя приложение Калькулятор операционной системы Windows запишите значения числа 1010 10 в различных системах счисления.
  1. откройте калькулятор: ПУСК-ПРОГРАММЫ-СТАНДАРТНЫЕ-КАЛЬКУЛЯТОР
  2. настройте вид калькулятора на инженерный: ВИД-ИНЖЕНЕРНЫЙ
  • Dec – десятичная система счисления
  • Oct – восьмеричная система счисления
  • Bin – двоичная система счисления
  • Hex – шестнадцатеричная система счисления
  1. поставьте флажок в Dec и наберите число 1010
  2. поставьте флажок в Oct – вы увидите данное число, представленное в 8-ой системе счисления (запишите результат)
  3. поставьте флажок в Bin – вы увидите данное число, представленное в 2-ой системе счисления (запишите результат)
  4. поставьте флажок в Hex – вы увидите данное число, представленное в 16-ой системе счисления (запишите результат)

Двоичная система счисления

В компьютерной технике очень часто используется двоичная система счисления. Такую систему очень легко реализовать в электронике (полупроводниковые транзисторы и микросхемы), так как для неё требуется всего два устойчивых состояния (0 и 1).

Двоичная система счисления может быть непозиционной и позиционной системой. В ней используется две цифры: 0 и 1. В реальном устройстве это может быть реализовано присутствием какого-либо физического явления или его отсутствием. Например: есть электрический заряд или его нет, есть напряжение или нет, есть ток или нет, есть сопротивление или нет, отражает свет или нет, намагничено или не намагничено, есть отверстие или нет и т.п.

Мы уже знаем, как переводить числа в различные системы счисления. Посмотрим, как это происходит с двоичной системой счисления. Переведём число из двоичной системы счисления в десятичную.

;

Вы это можете проверить на программе-калькуляторе (gcalctool в gnome, Kcalc в KDE, или калькулятор в Windows). Он умеет производить расчёты в двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной системах счисления. Теперь вы знаете, как он это проделывает. Если вы захотите посвятить свою жизнь программированию, то вам часто придётся работать со степенями двойки. Ниже представлена таблица:

Степень Значение
1
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
6 64
7 128
8 256
9 512
10 1024
11 2048
12 4096
13 8192
14 16384
15 32768
16 65536

Произведём обратное преобразование. Чтобы преобразовать число в десятичном виде к двоичному, нам нужно будет делить всё время на два и смотреть на остаток от деления. Возьмём число 33.

  • 33 : 2 = 16 остаток 1;
  • 16 : 2 = 8 остаток 0;
  • 8 : 2 = 4 остаток 0;
  • 4 : 2 = 2 остаток 0;
  • 2 : 2 = 1 остаток 0;
  • 1 : 2 = 0 остаток 1;

Получили .

Возьмём число 55. Посмотрим, что получится.

  • 55 : 2 = 27 остаток 1;
  • 27 : 2 = 13 остаток 1;
  • 13 : 2 = 6 остаток 1;
  • 6 : 2 = 3 остаток 0;
  • 3 : 2 = 1 остаток 1;
  • 1 : 2 = 0 остаток 1.

Получили .

Ниже приведены ещё примеры со сложением, вычитанием, умножением и делением.

Сложение:

Вычитание:

Умножение:

Деление:

Программа двоичного представления десятичного числа (Написана на Си)

Примеры решения задач

Задача 1

Дано число в двоичной система 10011. Перевести число в десятичную систему счисления. Решение: 100112=1∙24+∙23+∙22+1∙21+1∙2=1∙16+∙8+∙4+1∙2+1∙1=16+++2+1=1910 Ответ: 19.

Задача 2

Перевести в десятичную систему счисления число 17 из восьмеричной системы. Решение: 178=1∙81+7∙8=1∙8+7∙1=8+7=1510 Ответ: 15.

Задача 3

Перевести из пятеричной системы счисления число 20341 в десятичную систему. Решение: 203415=2∙54+∙53+3∙52+4∙51+1∙5=2∙625+∙125+3∙25+4∙5+1∙1=1250++75+20+1=134610 Ответ: 1346.

Задача 4

Число 0,F3D0 из шестнадцатеричной системы счисления перевести в десятичную систему. Решение: .F3D16=∙16+F∙16-1+3∙16-2+D∙16-3+∙16-4=∙1+15∙.0625+3∙.00390625+13∙.000244140625+∙1.52587890625E-5=+.9375+.01171875+.003173828125+=.95239257812510 Ответ: 0,952392578125

Задача 5

Перевести в десятичную систему счисления двоичное число 101,11. Решение: 101,112=1·22+·21+1·2+1·2-1+1·2-2=4++1+,5+,25=5,7510 Ответ: 5,75

Теги