Позиционная ⚠ система счисления

История систем счисления

Натуральные числа были с людьми всегда. Для подсчёта небольшого количества объектов вязались узлы, использовались камешки – так появились счёты, загибались пальцы. Последние и стали основой десятичной СС.

С появлением необходимости проводить измерения расстояний и габаритов объектов придумали дробные числа. Для измерения времени создали древние системы счисления, привязанные к астрономическим событиям: вращение Земли вокруг Солнца, своей оси, движение Луны, затем полученные величины разбили на более мелкие – часы, минуты. У большинства народов были собственные СС. Римляне обозначали количество буквами алфавита, арабы – современными цифрами.

Греки обозначали цифры буквами алфавита, на которые начинались их названия.

Японцы и китайцы считали палочками.

Японцы и китайцы считали палочками.

Видео

Видео

Алфавит и основание системы счисления

Алфавитом системы счисления называется совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел. Например: Десятичная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Двоичная система: {0, 1} Восьмеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Шестнадцатеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} Количество цифр в алфавите равно основанию системы счисления. Основанием позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Базисом позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых задает количественное значение или «вес» каждого разряда. Например: Базисы некоторых позиционных систем счисления. Десятичная система: 10, 101, 102, 103, 104,…, 10n,… Двоичная система: 2, 21, 22, 23, 24,…, 2n,… Восьмеричная система: 8, 81, 82, 83, 84,…, 8n,… Пример. Десятичное число 4718,63, двоичное число 1001,1, восьмеричное число 7764,1, шестнадцатеричное число 3АF.

Позиция цифры в числе называется разрядом: разряд возрастает справа налево, от младших к старшим, начиная с нуля.

Что такое непозиционная система

Определение

Непозиционная система — это такая система счисления, в которой положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает.

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от ее места в коде числа.

Еще до нашей эры разные народы независимо друг от друга отказывались от унарной системы счисления, в которой количество предметов обозначали таким же количеством одинаковых значков, и переходили к более удобным системам. Например, у египтян система счисления была десятичной, но запись числа составлялась только из иероглифов 1, 10, 100, 1000. Их нужно было складывать, поэтому не имело значения, в каком порядке они записаны.

Древнекитайская десятеричная

Данная система счисления — самая прогрессивная из старейших, так как она построена на тех же принципах, что и современная «арабская», используемая в наше время. Возникла эта система около $4 000$ тысяч лет назад в Китае.


Рисунок 6.

Числа в ней записывались слева направо, от большего к меньшему. При отсутствии какого-либо разряда ничего не ставили и переходили к следующему, такой разряд во времена правления династии Мин стал обозначаться кружочком, аналогом нуля. Во избежание путаницы разрядов ввели несколько служебных иероглифов, которые записывались после основного и показывали, какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде.

Достоинства позиционной системы

Простое выполнение подсчета

У всех позиционных систем одни и те же алгоритмы выполнения арифметических действий. Также в позиционных системах удобно работать с дробями и отрицательными числами, которые зачастую просто невозможно представить в непозиционных системах.

Главные свойства позиционных систем:

  • основание всегда записывается внутри системы как 10 (утверждение неприменимо к унарной системе счисления);
  • числа можно сравнивать поразрядно, дополнив ведущими нулями до равной длины;
  • сложение и вычитание можно выполнять, зная только таблицу сложения однозначных чисел.

Малое количество символов в записи

Позиционные системы используют только десять арабских цифр. Системы с основанием больше десяти добавляют к цифрам 26 латинских букв. В некоторых системах используют круглые и квадратные скобки.

Чем больше основание системы счисления, тем меньшее количество цифр понадобится для записи числа. Числа, состоящие из трех разрядов в десятичной системе, могут иметь всего два разряда в шестнадцатеричной.

Основные определения

Итак, первое, что вам нужно знать – что такое основание позиционной системы счисления.

Основанием (или базисом) называется количество знаков (цифр), которые будут использоваться вами для того, чтобы изобразить нужное числовое значение.

Понятие может показаться непонятным, однако ничего сложного в нем нет. Так в десятичной нумерации, которая включает себя цифры от нуля до девяти, базис будет равен 10, а для цифрового (двоичного) кода, который широко используется в информатике, основание будет равно 2, так как в качестве знаков используются только ноль и единица.

Также здесь нужно показать каким образом для удобства в математике записывается основание. А записывается оно с помощью нижнего индекса, например:

Это говорит о том, что здесь «одиннадцать&#18

Это говорит о том, что здесь «одиннадцать» относится к двоичной нумерации. Ниже я приведу ещё несколько примеров, как могут выглядеть записи.

И еще одно важное понятие, которое нужно знать – ч

И еще одно важное понятие, которое нужно знать – что такое разряд.

Числовым разрядом – называется  место (позиция) цифры, которое она занимает в числе.

Также вам нужно запомнить очень важное правило: отсчет позиции начинается с нуля. Не спрашивайте, почему так придумали математики – объяснить это трудно, да и не нужно. Примите его как данность.

Чтобы вам было понятно, как считаются позиции, приведем ниже изображение:

Разобравшись с этими положениями можно перейти к г

Разобравшись с этими положениями можно перейти к главному определению. Вначале я напишу его полностью, а потом попытаюсь подробно разобрать. Итак:

Позиционной называется система, которая определяется числом b>1. Где b – называется базисом системы счисления. Системы с основанием b, могут также называться b-ичными. Любое целое числовое значение x, записанное в системе с основанием b можно представить в виде линейной комбинации, которая выглядит следующим образом:

Где N-номер крайней позиции, отсчет вести справа н

Где N-номер крайней позиции, отсчет вести справа налево.

Если вы разобрались с предыдущим материалом, и вы имеете по алгебре хотя бы «3», то вам должно быть всё понятно, а если нет, то ниже я попробую разжевать всё для чайников.

Позиционные системы счисления

Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 5557 – число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается. Основание системы – это тоже число, и его мы будем указывать в обычной десятичной системе. Вообще, число x может быть представлено в системе с основанием p, как x = an·pn +an – 1·pn–1 + ap1 + ap0, где ana0 – цифры в представлении данного числа. Так, например,

103510=1·103 + 0·102 + 3·101 + 5·10;

10102 = 1·23 + 0·22 + 1·21 + 0·2 = 10.

Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Вообще говоря, этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы как человека, так и вычислительной машины, однако иногда в силу различных обстоятельств все-таки приходится обращаться к другим системам счисления, например к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32.

Чтобы оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, нужно иметь в виду, что принципиально они ничем не отличаются от привычной десятичной. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.

Почему же не используются другие системы счисления? В основном, потому, что в повседневной жизни люди привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и не требуется никакая другая. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления, так как оперировать числами, записанными в двоичном виде, довольно просто.

Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе. Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать для записи очень больших чисел систему счисления, например по основанию 50? Для такой системы счисления необходимы 10 обычных цифр плюс 40 знаков, которые соответствовали бы числам от 10 до 49 и вряд ли кому-нибудь понравится работать с этими сорока знаками. Поэтому в реальной жизни системы счисления по основанию, большему 16, практически не используются.

Разряд числа

Разряд — это место, позиция цифры в записи числа. Например, в 125: цифра 5 относится к разряду единиц, 2 — к разряду десятков, 5 — к разряду сотен. Данное число можно также представить в виде суммы 100 + 20 + 5 и выделить основание системы в каждом слагаемом в той или иной степени:

12510 = 1 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 5 ∙ 1 = 1 ∙ 102 + 2 ∙ 101 + 5 ∙ 10

Если обратить внимание на показатели степени, то наблюдается закономерность — соответствие порядковому номеру цифры слева направо, начиная с нуля:

Цифра 1 2 5
Порядковый номер слева направо 2 1
Показатель степени основания 2 1

Позиционная система счисления: что это

Позиционная СЧ – наиболее распространённый тип записи чисел, где положение цифры влияет на величину числа, а окружающие её значения – нет. Каждый символ обозначает единицу соответствующего разряда. Десятичная СС, например, является позиционной. Если цифра пять стоит последней, обозначает единицы, второй – десятки, четвёртой – тысячи. Символ один, а значения разные.

Плюсы позиционных систем счисления:

Плюсы позиционных систем счисления:

  • Простота запоминания и изображения чисел.
  • Удобство совершения математических и логических операций.
  • Миниатюрная запись огромных значений.

К позиционным системам счисления в информатике относятся двоичная, шестнадцатеричная, четвертичная, а также десятеричная. Основная СЧ, используемая в вычислительной технике, двоичная. Она:

  • Обладает минимальными таблицами умножения, сложения.
  • Представит любое число посредством двух состояний: единица и ноль.
  • Помехоустойчивая по причине всего пары состояний.
  • Проста в выполнении арифметических операций.

Также в цифровой технике применяется шестнадцатеричная СС. Её алфавит состоит из чисел от 0 до 9 и первых шести букв латинского алфавита: A – D.

Представление дробей

Если же необходимо представить в развернутой форме дробь, то формула будет следующей:

An = an-1 ∙ qn-1 + an-2 ∙ qn-2 + ∙∙∙ + a ∙ q + a-1 ∙ q-1 + ∙∙∙ + a-m ∙ q-m

где A — число, q — основание системы счисления, n — количество целых разрядов, а m — количество дробных разрядов числа. Свернутой формой, соответственно, является запись вида:

±an-1an-2∙∙∙a1aa-1 ∙∙∙ a-m

Например, для 1001,101 в двоичной системе счисления развернутая форма будет выглядеть так:

1001.1012 = 1 ∙ 23 + 0 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 2 + 1 ∙ 2-1 + 0 ∙ 2-2 + 1 ∙ 2-3

Теги